שיטה אחת לחישוב הזווית כוללת שימוש ב חוק השתקפות האליפסה. אור ממוקד אחד משקף את האליפסה למוקד השני.

כך בתמונה למטה (מאת הכותב), הווקטור הרדיאלי ממוקד $ F_1 $ משתקף ב $ P $ אל המוקד השני $ F_2 $ , ויוצר משולש ש הצד השלישי הוא הקו בין המוקדים.

זווית הטיסה שלך $ \ psi $ היא הזווית של שכיחות בין הווקטור הרדיאלי לקו המקווקו אותו אנו בניצב לנתיב הטיסה (המשיק), וגם לזווית ההשתקפות לעבר המוקד השני. לפיכך הזווית במשולש ב $ P $ מודדת $ 2 \ psi $ .

כעת אנו מיישמים את חוק הקוסינוסים על המשולש הזה $

$ \ cos2 \ psi = \ dfrac {PF_1 ^ 2 + PF_2 ^ 2- (F_1F_2) ^ 2} {2 (PF_1) (PF_2)} $

$ = \ dfrac {r ^ 2 + (2 \ alpha-r) ^ 2-4 \ alpha ^ 2 \ epsilon ^ 2} {2r (2 \ alpha-r)} $

במסלול מעגלי יש לך $ \ epsilon = $ ו $ r = \ alpha $ , מה שמאלץ את הקוסינוס ל $ 1 $ span כצפוי. למסלול אליפטי כשאתה נמצא על הציר המשני, אתה מקבל נוסחה לזווית הטיסות מרבית :

$ \ cos2 \ psi_ {max} = 1-2 \ epsilon ^ 2 $

או, מנוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס, פשוט

$ \ sin \ psi_ {max} = \ epsilon $

אם האליפסה שלך היא מעגל, זווית נתיב הטיסה היא 0. סיימת.

אחרת, למסלול אליפטי, התחל במשוואה הקוטבית המתייחסת למרחק רדיאלי $ r $ , אנומליה אמיתית $ \ theta $ , ציר חצי $ a $ , ומורכבות מסלולית $ e $ :

$ $ r = \ frac {a (1-e ^ 2)} {1 + e \ cos \ theta} $$

פותר עבור $ \ theta $ נותן לנו את הדברים הבאים:

$$ \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {-ae ^ 2 + ar} {er}} \ right) $$

שים לב שיש שני מצבים במסלול אליפטי באותו מרחק רדיאלי: אחד בו החללית עולה, ואחד שבו היא יורדת. משוואה זו תתן לך את הערכים החיוביים של אנומליה אמיתית הודות לפונקציה $ \ arccos $ , שם החללית עולה מפריפסיס לאפואפסיס.

כעת ניתן לחשב את זווית נתיב הטיסה כ $$ \ phi = \ pm \ arctan \ frac {e \ sin \ theta} {1 + e \ cos \ theta} $$ span>

אם החללית עולה מפריאפסיס לאפואפסיס, זווית נתיב הטיסה תהיה חיובית. אם הוא יורד, זווית נתיב הטיסה תהיה שלילית.

זווית נתיב הטיסה היא פשוט הזווית שבין וקטור המהירות לווקטור הניצב לווקטור המיקום. דרך קלה לדמיין זאת: אם המסלול היה מעגל, זווית זו תהיה אפס. לכן הזווית נובעת מהתרומה של התנועה כלפי פנים / חוץ של האובייקט הרחק מנקודת המוקד.

הציר העיקרי למחצה ( $ a $ span>) ואקסצנטריות ( $ e $ ) מגדירים את צורת המסלול שלך. בעזרת מידע זה, חישב את הדברים הבאים (אני משמיט מתמטיקה בסיסית ונוסחאות):

1. כיוון וקטור משיק ליקוי החמה. זו תהיה פונקציה של מיקום $ (x, y) $ ושל פרמטרי האליפסה עצמו.
2. בניצב לווקטור המיקום (נקודת המוקד היא מָקוֹר). זה מאוד פשוט.

כששני הווקטורים הללו ביד, אתה יכול להשתמש במוצר הנקודה שלהם כדי להשיג את הזווית ביניהם. זוהי זווית הטיסה.

FWIW, הנה הנוסחה להמרת הפרמטר המוקד-אקסצנטריות-directrix שהוגדר לנוסחה הריבועית הכללית $ Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 $ span>. זה בשפה R.

  FEDtoA <-function (focus = c (0,0), directrix = c (1,0,1), excentricity = 0.5) {h = focus [1] v = focus [2] da = directrix [1] db = directrix [2] dc = directrix [3] ec = eccentricity ^ 2 # flip sign from GFG pagek = (da ^ 2 + db ^ 2) parA = k - ec * da ^ 2 # A termparA [2] = -2 * ec * da * db # B term, וכך onparA [3] = k -ec * db ^ 2parA [4] = -2 * h * k - 2 * ec * da * dcparA [5] = -2 * v * k - 2 * ec * db * dc # אם dc הוא אפס קבל מקרה מנוון כי F הוא אפס? כן - לא באג. parA [6] = -ec * dc ^ 2 + k * (h ^ 2 + v ^ 2) return (invisible (parA))}  

זה אמור להקל על יצירת עקומת חתך חרוט, וכך נגזרת מהזווית מנקודה נתונה על הקרקע.